Niech X 1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu N µ, σ 2 z nieznanymi parametrami. Niech µ 0 ∈ R . Skonstruować test dla hipotezy H 0 : µ = µ 0 przeciwko
H 1 : µ ̸= µ 0
Rozwiązanie.
Model dla próby X = ( X 1 , X 2 , . . . , Xn) ma postać
(
{
(
)
})
R n, Nn µ1 n, σ 2 In , θ = ( µ, σ 2) ∈ R × R+
Przestrzenią parametrów oraz zbiorami Θ0 i Θ1 są odpowiednio:
Θ = R × R+
Θ0 = {µ 0 } × R+
Θ1 = (R \ {µ 0 }) × R+
Zauważmy, że obie weryfikowane hipotezy są złożone. Do konstrukcji testu wykorzy-
stamy iloraz wiarogodności
sup fµ,σ( x)
( µ,σ) ∈Θ
λ( x) =
sup
fµ,σ( x)
( µ,σ) ∈Θ0
Copyright c
⃝ Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński
132
Weryfikacja hipotez statystycznych
Wersja 22/10/2013
Próba ma rozkład o gęstości
(
)
{
(
) }
n
n
2
1
∑ xi − µ
fµ,σ( x) =
√
exp
− 1
σ 2 π
2
σ
i=1
Z teorii metody największej wiarogodności wiadomo, że sup
f
( µ,σ) ∈Θ µ,σ ( x) jest reali-
zowane w punkcie ( ¯
X, S 2) , gdzie
n
∑
n
∑
¯
1
1
X =
Xi,
S 2 =
( Xi − ¯
X)2
n
n
i=1
i=1
są estymatorami największej wiarogodności odpowiednio wartości oczekiwanej i wa-
riancji. A zatem
(
) n
{
}
1
sup
fµ,σ( x) = f ¯
√
−n
X,S 2 ( x) =
exp
( µ,σ) ∈Θ
ˆ
σ 2 π
2
Niech
n
1 ∑
˜
σ 2 =
( Xi − µ 0)2
n i=1
Jak łatwo sprawdzić, jest to estymator największej wiarogodności wariancji przy za-
łożeniu, że µ = µ 0 . Zatem
(
) n
{
}
1
sup
fµ,σ( x) = f
√
µ
exp − n
0 , ˜
σ 2 ( x) =
( µ,σ) ∈Θ
˜
σ 2 π
2
0
Iloraz wiarogodności przyjmuje więc postać
sup fµ,σ( x)
( ) n
θ∈Θ
˜
σ
λ( x) =
=
sup fµ,σ( x)
ˆ
σ
θ∈Θ0
Ponieważ
n
∑
n
∑
n
∑
( Xi − µ 0)2 =
( Xi − ¯
X + ¯
X − µ 0)2 =
( Xi − ¯
X)2 + n( ¯
X − µ 0)2
i=1
i=1
i=1
więc
(
) n
n( ¯
X − µ
2
0)2
λ( x) =
1 + ∑ n ( X
i=1
i − ¯
X)2
Poszukiwany test ma postać
ϕ( x) = 1 ⇔ λ( x) > t ⇔
n( ¯
X − µ 0)2
∑ n
> t′
( X
i=1
i − ¯
X)2
Copyright c
⃝ Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński
Wersja 22/10/2013
Weryfikacja hipotez statystycznych
133
Stała t′ musi być tak dobrana, by test miał poziom istotności α, tzn.
EH ϕ( X) = α
0
Jak wiadomo
a. jeżeli H 0 jest prawdziwa, to
√
n( ¯
X − µ 0)2
n( ¯
X − µ 0) ∼ N (0 , σ 2) czyli
∼ χ 2
σ 2
1
b. dla wszystkich θ ∈ Θ
n
1 ∑ (
)2
Xi − ¯
X
∼ χ 2
σ 2
n− 1
i=1
∑
(
)2
c.
¯
X oraz
n
X
są niezależne
i=1
i − ¯
X
A zatem, jeżeli hipoteza H 0 jest prawdziwa, to
n( ¯
X − µ 0)2
∑
∼ F
1
n
1 ,n− 1
( X
n− 1
i=1
i − ¯
X)2
Hipoteza H 0 jest odrzucana na poziomie istotności α, jeżeli
n( ¯
X − µ 0)2
( ∗)
∑
> F ( α; 1 , n − 1)
1
n
( X
n− 1
i=1
i − ¯
X)2
√
Ponieważ tv =
F 1 ,v, więc ( ∗) jest równoważne
| ¯
X − µ √
0 |
( ∗∗)
n > t( α; n − 1)
S
Test ( ∗∗) nazywa się testem Studenta
Testy zgodności.
Rozważmy problem weryfikacji hipotezy H 0 : Cecha X ma rozkład F .
Test chi–kwadrat zgodności
Niech F będzie dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi–kwadrat zgod-
ności przebiega w następujący sposób.
Próba zapisywana jest w postaci szeregu rozdzielczego:
Klasa
Liczebność
1
n 1
2
n 2
..
.
.
..
k
nk
Copyright c
⃝ Stanisław Jaworski & Wojciech Zieliński
134
Weryfikacja hipotez statystycznych
Wersja 22/10/2013
Statystyką testową jest
k
∑ ( ni − nt)2
χ 2
=
i
emp
nt
i=1
i
gdzie
k
∑
nt = N pt, N =
n
i
i
i,
i=1
pt = P
i
F {X przyjęła wartość z klasy i}
Hipotezę H 0 odrzucamy na poziomie istotności α, jeżeli χ 2
> χ 2( α; k − u − 1).
emp
Tutaj χ 2( α; k − u − 1) jest wartością krytyczną ( u jest liczbą nieznanych parametrów
hipotetycznego rozkładu F ).
Test Kołmogorowa
Niech F będzie znanym rozkładem ciągłym. Próbę X 1 , . . . , Xn porządkujemy nie-
malejąco: X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X( n). Tak uporządkowane obserwacje nazywamy
statystykami pozycyjnymi
Statystyką testową jest
{
{
}}
i
D
n = max
max F( X( i)) − i − 1 , −F( X( i))
1 ≤i≤n
n
n
Wartością krytyczną testu Kołmogorowa jest D( α; n). Jeżeli Dn > D( α; n), to hipo-
tezę H 0 odrzucamy.
Test Shapiro–Wilka
Niech F będzie rozkładem normalnym. Próbę X 1 , . . . , Xn porządkujemy niemalejąco:
X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X( n).
Statystyką testową jest
[ n/ 2]
∑
)2
(
ai: n( X( n−i+1) − X( i))
W =
i=1
var X
gdzie ai: n są stablicowanymi współczynnikami oraz
{ n/ 2 ,
dla n parzystych
[ n/ 2] =
( n − 1) / 2 ,
dla n nieparzystych
Wartością krytyczną testu Shapiro–Wilka jest Wn( α). Jeżeli W ≤ Wn( α), to hipotezę
H 0 odrzucamy.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
22.1. Niech X 1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu D ( θ) z nieznanym prawdopodobień-
stwem θ ∈ (0 , 1). Skonstruować
a. test hipotezy H 0 : θ = θ 0 przeciwko H 1 : θ = θ 1 dla znanych wartości θ 0 < θ 1.
b. test hipotezy H 0 : θ ≤ θ 0 przeciwko H 1 : θ ≥ θ 0 dla ustalonej wartości θ 0.
c. test hipotezy H 0 : θ = θ 0 przeciwko H 1 : θ ̸= θ 0 dla ustalonej wartości θ 0.
Copyright c