2. Czterech chłpców i cztery studentki siadło obok siebie:
a)
na ławce,
b)
przy okrągłym stole.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe chłopcy nie siedzą obok siebie.
3. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe przy grze w brydŜa jeden gracz otrzyma:
a)
cztery asy,
b)
same figury,
c)
same blotki.
4. Po sesji egzaminacyjnej stwierdzono, Ŝe 75% studentów zdało matematykę, natomiast
40% studentów zdało matematykę i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze
student, który zdał egzamin z matematyki zdał takŜe egzamin z fizyki.
5. Fabryka sprowadza pewne detale od trzech producentów. Wadliwość produkcji
pierwszego dostawcy wynosi 5%, drugiego – 4% a trzeciego – 2%. Dostawcy ci
pokrywają zapotrzebowanie fabryki odpowiednio w 25%, 30% i 45%.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybrany detal jest wadliwy.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybrany detal, który okazał się
wadliwy, został wyprodukowany przez trzeciego dostawcę.
6. 70% męŜczyzn i 15% kobiet ogląda mecze piłki noŜnej w telewizji. Z grupy 200
kobiet i 300 męŜczyzn wybrano losowo jedną osobę.
a)
Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wybrana osoba ogląda mecze piłki noŜnej
w telewizji?
b)
Wylosowano osobę i okazało się, Ŝe ogląda ona mecze w telewizji. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe jest to kobieta?
7. Na przenośnik taśmowy trafiają detale produkowane przez trzy automaty. Pierwszy
automat wytwarza 6% braków, drugi – 5% a trzeci – 4% braków. Wielkość produkcji
tych automatów ma się tak, jak 2:4:5. Wybrano losowo z przenośnika detal, który
okazał się brakiem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe wyprodukował go
pierwszy automat?
8. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym strzałem wynosi 0.8. Obliczyć
prawdopodobieństwo trafienia co najmniej raz w 10 strzałach.
9. Bezpieczeństwo windy zapewniają działające niezaleŜnie od siebie dwie liny
o niezawodnościach 99% i 98%. Jakie jest prawdopodobieństwo bezpiecznego
przejazdu tą windą?
10. Wykazać, Ŝe jeŜeli zdarzenia A i B są niezaleŜne, to niezaleŜne są takŜe zdarzenia
przeciwne A′ i B′.
Strona 29
2
ROZDZIAŁ II
Strona 30
3
III Zmienna losowa
Strona 31
3
ROZDZIAŁ III
Zmienna losowa
Definicja zmiennej losowej
W wielu zagadnieniach mamy do czynienia z wielkościami, których wartość liczbowa zaleŜy
od przypadku związanego z doświadczeniem losowym, a więc zaleŜy od zdarzenia elemen-
tarnego. Na przykład rzucając dwiema sześciennymi kostkami do gry moŜemy zdarzeniu
elementarnemu reprezentowanemu przez parę uporządkowaną (i,j) przyporządkować liczbę
rzeczywistą: i+j, albo liczbę i2+j+3, itd. Takie przyporządkowanie moŜe spełniać dodatkowe
warunki i wtedy będziemy je nazywać zmienną losową (przyjęło się oznaczać zmienne
losowe duŜymi literami, np. X, Y).
Niech (Ω,S,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Funkcję X o wartościach rzeczywistych
określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, czyli:
X : Ω → R
spełniającą warunek:
x
∀ ∈ R : {ω ∈Ω : X(ω ) < }
x ∈ S ,
nazywamy zmienną losową.
Warunek występujący w definicji (wyodrębniający funkcje o tej własności, Ŝe przeciwobraz
półprostej ( – ∞, x) jest zdarzeniem losowym) nazywa się w matematyce mierzalnością
funkcji X względem σ-algebry S.
Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności
Z definicji zmiennej losowej wynika, Ŝe zbiór {ω ∈ Ω : X (ω ) < }
x jest zdarzeniem losowym
dla kaŜdej liczby rzeczywistej x, moŜna zatem obliczyć prawdopodobieństwo takiego
zdarzenia. Otrzymamy w ten sposób funkcję rzeczywistą o wartościach z przedziału [0, 1],
która pozwala wyznaczać prawdopodobieństwa w łatwiejszy sposób. Funkcja ta nosi nazwę
dystrybuanty zmiennej losowej.
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F: R →[0,1] określoną wzorem:
F( x ) = P {