Okazuje się, że wzór na wysokość całkowitej raty jest następujący:
1 r N
R P r
7
1 r N 1
Podstawiając dane z naszego przykładu do powyższego wzoru otrzymujemy R = 106,62 PLN jako wysokość raty kredytu. Nie wiemy
jeszcze, jak wyglądają w tym przypadku wysokości części kapitałowych i odsetkowych kolejnych rat.
7 Dla zainteresowanych przedstawiam dowód tego faktu kilka stron dalej.
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Marcin Krzywda
FINANSE DLA KAŻDEGO – Marcin Krzywda
●
Kredyty ze stałą ratą całkowitą
str. 30
Zobaczmy całość harmonogramu spłat:
Nr
Część
Część
Rata
Bieżące
raty
kapitałowa
odsetkowa
całkowita
zadłużenie
1 200 PLN
1
94,62 PLN
12,00 PLN
106,62 PLN
1 105,38 PLN
2
95,57 PLN
11,05 PLN
106,62 PLN
1 009,82 PLN
3
96,52 PLN
10,10 PLN
106,62 PLN
913,30 PLN
4
97,49 PLN
9,13 PLN
106,62 PLN
815,81 PLN
5
98,46 PLN
8,16 PLN
106,62 PLN
717,35 PLN
6
99,45 PLN
7,17 PLN
106,62 PLN
617,91 PLN
7
100,44 PLN
6,18 PLN
106,62 PLN
517,47 PLN
8
101,45 PLN
5,17 PLN
106,62 PLN
416,02 PLN
9
102,46 PLN
4,16 PLN
106,62 PLN
313,56 PLN
10
103,48 PLN
3,14 PLN
106,62 PLN
210,08 PLN
11
104,52 PLN
2,10 PLN
106,62 PLN
105,56 PLN
12
105,56 PLN
1,06 PLN
106,62 PLN
100
80
60
40
20
R a ta k a p it a ło w a
R a ta o d s e tk o w a
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Marcin Krzywda
FINANSE DLA KAŻDEGO – Marcin Krzywda
●
Kredyty ze stałą ratą całkowitą
str. 31
Wyprowadzenie wzoru na wysokość raty
Dla bardziej zainteresowanych matematycznymi szczegółami przed-
stawię teraz dowód wzoru na wysokość raty, który podałem na
początku podrozdziału. Nie oparłem go na szczegółowej wiedzy z
zakresu finansów, jak to robią podręczniki akademickie, a
wykorzystuję jedynie matematykę na poziomie liceum. Jeśli wierzysz mi na słowo, możesz opuścić kolejne trzy strony.
Przypomnijmy schemat spłaty kredytu:
R = K1+ O1
R = K2+ O2
…
R = KN+ ON
Przy czym K1 + K2 + ... + KN = P (raty kapitałowe spłacają cały kredyt).
Zobaczmy, jak wyglądają raty odsetkowe:
O1 = Pr
O2 = (P — K1) · r
…
Oi = (P — K1 — … — Ki-1) · r
…
ON = (P — K1 — … — KN-1) · r
Nasuwa się teraz następująca
OBSERWACJA. Raty kapitałowe tworzą ciąg geometryczny8.
8 Własności ciągu geometrycznego zostały opisane tutaj:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_geometryczny.
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Marcin Krzywda
FINANSE DLA KAŻDEGO – Marcin Krzywda
●
Kredyty ze stałą ratą całkowitą
str. 32
Dowiedziemy teraz tej obserwacji. Wzory na dwie kolejne raty odsetkowe tworzą następujący układ równań:
Oi = (P — K1 — … — Ki-1) · r
Oi+1 = (P — K1 — … — Ki) · r
Który po odjęciu stronami daje następujące równanie:
Oi+1 — Oi = Ki · r
Wiemy także, że R = Ki + Oi, czyli Oi = R — Ki. Podstawiając do powyższego równania, otrzymujemy:
Ki · r = Oi+1 — Oi = (R — Ki) — (R — Ki+1) = Ki+1 — Ki
Ki · r = Ki+1 — Ki , czyli
Ki+1 = Ki · (1+r)
WNIOSEK. Ki+1 = K1 · (1+r) i
Udowodniliśmy zatem, że raty kapitałowe tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie K1 i ilorazie (1+r). W połączeniu ze znanym już faktem, że raty kapitałowe sumują się do kwoty kredytu:
K1 + K2 + ... + KN = P
Otrzymujemy do policzenia sumę N początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego:
K1 + K1 · (1+r) + K1 · (1+r)2+ … + K1 · (1+r)N-1 = P
Wykorzystując licealny wzór na sumę wyrazów ciągu geometryczne-
go, dostajemy:
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Marcin Krzywda
FINANSE DLA KAŻDEGO –
Marcin Krzywda
●
Kredyty ze stałą ratą całkowitą
str. 33
1 r N 1
K 1
P
1 r
1
.
r
K 1 P
1 r N 1
Rata całkowita R wyniesie zatem:
r
R K
1
O 1 P
P r
1 r N 1
.
1 r N
R P r 1 r N 1
Wyprowadzimy jeszcze (dla pełności rozważań) wzór na i-tą ratę
kapitałową i i-tą ratę odsetkową.
r
Po podstawieniu K 1 P
do K i 1 K 1
1 r i mamy:
1 r N 1
1 r i
K
.
i 1
P r
1 r N 1
1 r
i
Po podstawieniu
1 r N
K i 1 P r
R P r
oraz
do
1 r N 1
1 r N 1
Oi 1 R K i 1
otrzymujemy:
1 r N i 1
Oi 1 P r
1 r i
.
1 r N 1
Copyright by Wydawnictwo Złote Myśli & Marcin Krzywda
FINANSE DLA KAŻDEGO – Marcin Krzywda
●
Zmiana oprocentowania w trakcie spłaty kredytu
str. 34
Zmiana oprocentowania w trakcie spłaty kredytu
Umowa kredytu może być tak skonstruowana, że dopuszcza możliwo-