Def. 2.3.4 (szereg zbieżny warunkowo)
Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
Fakt 2.3.5 (sumy ważniejszych szeregów)
1
2
1
1
2
n1
(
n n )
1
n1 n
6
1
n
( )
1
1
e
n1
!
n
n1
!
n
e
n
(
1
)
1
n
(
1
)
1
ln 2
n1
n
n1 2 n 1
4
2.4. SZEREGI POTĘGOWE
Def. 2.4.1 (szereg potęgowy)
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 R nazywamy szereg postaci:
c ( x x ) n , gdzie x R oraz c
n
0
nR dla n= 0, 1, 2, ....
n0
def
Uwaga. W tym paragrafie przyjmujemy, że 00 1 . Liczby cn nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego.
Def. 2.4.2 (promień zbieżności szeregu potęgowego)
n
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego c ( x x ) nazywamy liczbę R określoną równością:
n
0
n0
1
R
,
n
lim sup
cn
n
gdy 0
n
lim sup
c
. Ponadto przyjmujemy R = 0, gdy
n
lim sup
c
oraz R = , gdy lim sup n c
0 .
n
n
n
n
n
n
Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego może być także obliczany ze wzoru:
1
c
R lim
albo ze wzoru R lim
n
,
n n c
n c
n
n 1
o ile te granice istnieją.
Tw. 2.4.3 (Cauchy’ego – Hadamarda)
n
Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c ( x x ) . Wtedy szereg ten jest: n
0
n0
a) zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x0 – R , x0 + R),
b) rozbieżny w każdym punkcie zbioru (- , x0 – R )( x0 + R, ).
Uwaga. W obu końcach przedziału (x0 – R , x0 + R) szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny. Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x0. Gdy R = , to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej.
Def. 2.4.4 (przedział zbieżności szeregu potęgowego)
n
Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego c ( x x ) nazywamy zbiór:
n
0
n0
n
x R : szereg
c ( x
x ) jest zbiezny .
n
0
n0
Tw. 2.4.5 (o rozwijaniu funkcji w szereg potęgowy)
Jeżeli:
1. funkcja f ma na przedziale ( x0 -, x0 + ) pochodne dowolnego rzędu,
2. dla każdego x( x0 -, x0 + ) spełniony jest warunek lim R ( x) 0 , gdzie
n
n
( n
f ) ( c)
n
R
( x x )
n
n!
0
oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f na przedziale [ x0,x] lub [ x,x0], to
( n)
f
( x )
f ( x)
0
( x x ) n dla każdego x x , x .
0
0
0
n 0
!
n
Uwaga. Zamiast założenia 2 powyższego twierdzenia można przyjąć, że:
f ( n) ( x) M dla każdego n N
}
0
{
oraz dla każdego x x , x .
0
0
M 0
Szereg potęgowy występujący w tezie tego twierdzenia nazywamy szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x0. Gdy x0 = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
Tw. 2.4.6 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)
n
Jeżeli f ( x) c ( x x ) dla każdego x x , x , gdzie > 0, to 0
0
n
0
n0
( n)
f
( x )
0
c
dla n = 0, 1, 2, ... .
n
!
n
Fakt 2.4.7 (szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych)
1
x n 1
2
3
x x x ... dla | x | 1
1 x
n0
x n
2
3
x
x
x
x
e
1
... dla x R
0
!
!
1
!
2
!
3
n
n
n
( )
1
3
5
7
2
x
x
x
sin x
x n 1 x
... dla x R
n 0 (2 n
)
1 !
!
3
!
5
!
7
n
( )
1
x 2
x 4
x 6
cos x
x 2 n 1
... dla x R
n 0 (2 n)!
!
2
!
4
!
6
( )
1 n
2
3
4
x
x
x
ln 1
( x)
n 1
x
x
... dla 1 x 1
n0 n 1
2
3
4
( )
1 n
3
5
7
n
x
x
x
ar ctg
2
1
x
x
x
... dla 1 x 1
n
n
0 2
1
3
5
7
x 2 n1
x 3
x 5
x 7
sh x
x
... dla x R
n 0 (2 n )
1 !
!
3
!
5
!
7
x 2 n
x 2
x 4
x 6
ch x
1
... dla x R
n 0 (2 n)!
!
2
!
4
!
6
Tw. 2.4.8 (o różniczkowaniu szeregu potęgowego)
n
Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego c x . Wtedy:
n
n0
\