Przed zderzeniem, energia kinetyczna łyżwiarzy wynosiła:
Po podstawieniu wartości ( prędkości wyrażamy w jednostkach m/s) mamy:
Podobnie możemy obliczyć energię końcową:
Po podstawieniu wartości liczbowych mamy:
Widzimy, że energia kinetyczna po zderzeniu znacznie zmalała, około 50 %
początkowej energii kinetycznej łyżwiarzy ulega rozproszeniu w momencie
zderzenia.
Wypadki z udziałem samochodów, gdy dochodzi do zderzenia, są bardzo
niebezpieczne ze względu na dużą prędkość i dużą masę pojazdu, energia
tracona w takim przypadku jest bardzo duża. Wyliczymy, jaka siła działa na
samochód podczas jego zderzenia z nieruchomą przeszkodą.
150
Fizyka dla programistów gier
a)
v
x
b)
Fd
x
Rys.7.8. Zderzenie niesprężyste samochodu z przeszkodą
Samochód o masie m porusza się z prędkością v, w pewnym momencie wpada
na betonowy słup. Jaki był efekt zderzenia, jeżeli odkształcenie było równe d
metrów?
Praca potrzebna do zatrzymania samochodu jest dana wzorem:
gdzie Fav jest to średnia siła działająca podczas zderzenia, d jest długością odkształcenia. Możemy wyznaczyć z tego równania siłę Fav :
Wstawiając odpowiednie wielkości możemy przekonać się, jak duże siły
działają podczas takiego zderzenia.
Znajomość zasada fizyki pozwala na rozstrzygniecie czy uczestnicy wypadku
samochodowego mówią prawdę. Rozważmy następujący przykład. Na
skrzyżowaniu ulic dochodzi do kolizji dwóch samochodów. Kierowca
pierwszego samochodu jedzie w kierunku x z prędkością v1 = 47 km/h, drugi kierowca jedzie z prędkością v2 w kierunku y (rys.7.9.a).
7. Modelowanie zderzeń
151
a)
y
y
b)
v
v1
x
x
v2
Rys.7.9. Zderzenie samochodów na skrzyżowaniu
Następuje kolizja, samochody zakleszczają się i razem przesuwane są w
kierunku tworzącym z osią x kąt = 550 (rys. 7.9b). Dozwolona prędkość na
skrzyżowaniu to 50 km/h. Kierowca samochodu jadącego w kierunku y twierdzi,
że nie przekroczył dopuszczalnej prędkości. Czy mówił prawdę?
Ułożymy równania dla składowych x i y pędów:
(kierunek x)
(kierunek y)
Dzieląc te równania stronami, wyznaczając v2 oraz wstawiając dane liczbowe
otrzymujemy:
Na podstawie modelowania wypadku samochodowego, uważamy, że drugi
kierowca, jadący w kierunku y przekroczył dozwoloną prędkość.
Dwie zasady – zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii całkowitej
są spełnione w zderzeniach. Energia kinetyczna jest zachowana tylko w
zderzeniach sprężystych. Prawdę mówiąc, w otaczającym nas świecie zderzenia
sprężyste prawie nie zachodzą. W rzeczywistości zawsze mamy do czynienia ze
stratami energii. Możemy określić współczynnik strat energii wprowadzając
tzw. współczynnik restytucji e (ang. coefficient of restitution):
152
Fizyka dla programistów gier
Współczynnik restytucji jest stosunkiem względnej prędkości ciał po zderzeniu
do względnej prędkości przed zderzeniem. Współczynnik restytucji zależy od
materiału, budowy i geometrii zderzających się ciał. Współczynnik restytucji e
wyznaczany jest doświadczalnie. Gdy zderzenia są idealnie sprężyste,
współczynnik restytucji e równy jest jeden, gdy mamy do czynienia ze
zderzeniami idealnie niesprężystymi to współczynnik restytucji równy jest zeru.
W przypadkach pośrednich 0 < e< 1. Jeżeli ciało spada swobodnie i uderza w
podłogę, to współczynnik restytucji e wyraża się prostym wzorem:
gdzie H oznacza wysokość, z jakiej spada ciało, a h jest wysokością, na jaką odbije się ciało. W tabeli 7.1. pokazano współczynniki restytucji.
Ciało
Współczynnik
restytucji e
Piłka golfowa
0.86
Piłka tenisowa
0.71
Kula bilardowa
0.80
Piłka do siatkówki
0.75
Kula drewniana
0.60
Kulka stalowa
0.60
Znajomość współczynnika restytucji pomaga wyznaczać parametry ruchu ciał
po zderzeniu.
7.3. Metody wykrywania kolizji.
Istotnym zagadnieniem jest stwierdzenie faktu czy doszło do kolizji.
Wykrywanie kolizji w grach komputerowych nie jest trywialnym zagadnieniem.
Dysponujemy wieloma technikami wykrywania kolizji. Jednym z najprostszych
sposobów wykrywania kolizji jest zastosowanie techniki brył otaczających. W
tym celu w przestrzeni 3D najczęściej wykorzystujemy sześcian lub sferę, a w
przestrzeni 2D wykorzystujemy kwadrat lub okrąg (rys. 7.10).
7. Modelowanie zderzeń
153
obiekt
Bryły otaczające
Rys.7.10 Bryły otaczające – okrąg i kwadrat
Promień okręgu dobieramy w ten sposób, aby wszystkie elementy obiektu były
w nim zamknięte. Technicznie oznacza to, że przeglądamy wszystkie
wierzchołki obiektu i sprawdzamy czy są wewnątrz okręgu. Podobnie
postępujemy znajdując kwadrat otaczający obiekt. Gdy dla obiektów zostaną
znalezione okręgi otaczające (położenie środka okręgu i jego promień),
wykrycie kolizji jest już zadaniem prostym. Należy ustalić, czy spełniony jest
warunek, że odległość pomiędzy środkami dwóch okręgów jest mniejsza niż
suma ich promieni. Na rysunku 7.11 pokazana jest sytuacja, gdy znaleziona jest
kolizja.
Rys. 7.11 Wykrywanie zderzenia przy pomocy okręgów otaczających
W wielu przypadkach zastosowanie prostokątów otaczających lub
prostopadłościanów może dać dokładniejsze wyniki przy wykrywaniu kolizji,
gdyż bryła otaczająca lepiej przybliży kształty obiektu. Taka sytuacja pokazana
jest na rys. 7.12. Zastosowanie okręgu ograniczającego obiekt byłoby zbyt
dużym przybliżeniem. W celu utworzenie prostokąta ograniczającego należy
przejrzeć listę wierzchołków obiektu i wyszukać wierzchołków o największej i
najmniejszej współrzędnej x i y. Funkcja wyznaczająca prostokąt ograniczający
może mieć postać pokazana na listingu 7.1. Prostokąt otaczający zdefiniowany