Jeżeli r = m, to w macierzach P i C nie ma u dołu wierszy wypełnionych zerami.
Jeżeli r = n, to r−ta kolumna jest ostatnią kolumną.
Przykład 4.2 Sprowadzić do postaci normalnej macierz
⎡
⎤
1
1 −4
0
3
⎢ 1 −1 −2 −2 −2 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 1 −3
0 −4
0 ⎦
(157)
0
1 −1
1
1
Rozwiązanie 4.2 Pierwszy wiersz pomnożony przez (−1) dodajemy do drugiego i trzeciego
wiersza. Zapisujemy to umownie nast ępująco:
⎡
⎤
1
1
−4
0
3
−1 −1
⎢ 1 −1 −2 −2 −2 ⎥
↓
A = ⎢
⎥
⎣ 1 −3
0
−4
0 ⎦
↓
0
1
−1
1
1
W wyniku otrzymamy
⎡
⎤
1
1 −4
0
3
⎢ 0 −2
2 −2 −5 ⎥ −2
A = ⎢
⎥
⎣ 0 −4
4 −4 −3 ⎦
↓
0
1 −1
1
1
61
4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNA Ń LINIOWYCH
MATEMATYKA
Nast ępnie, drugi wiersz mnożymy przez (−2) i dodajemy do trzeciego
⎡
⎤
1
1 −4
0
3
⎢ 0 −2
2 −2 −5 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0
0
0
0
7 ⎦
0
1 −1
1
1
Czwarty wiersz mnożymy przez 2 i dodajemy do niego wiersz drugi
⎡
⎤
1
1 −4
0
3
⎢ 0 −2
2 −2 −5 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0
0
0
0
7 ⎦
0
0
0
0 −3
Ponieważ a33 = 0, a34 = 0, a a35 6= 0, to przestawiamy trzecią kolumn ę z piątą
⎡
⎤
1
1
3
0 −4
⎢ 0 −2 −5 −2
2 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0
0
7
0
0 ⎦
0
0 −3
0
0
Trzeci wiersz mnożymy przez 3, czwarty przez 7 i dodajemy trzeci do czwartego
⎡
⎤
1
1
3
0 −4
⎢ 0 −2 −5 −2
2 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0
0
7
0
0 ⎦
0
0
0
0
0
Pierwszy wiersz pomnożymy przez 7, trzeci przez (−3) i do pierwszego dodamy trzeci
⎡
⎤
7
7
0
0 −28
⎢ 0 −2 −5 −2
2 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0
0
7
0
0 ⎦
0
0
0
0
0
Drugi wiersz pomnożymy przez 7, trzeci przez 5 i do drugiego dodamy trzeci
⎡
⎤
7
7 0
0 −28
⎢ 0 −14 0 −14
14 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0
0 7
0
0 ⎦
0
0 0
0
0
Pierwszy wiersz pomnożymy przez 2 i dodamy do niego drugi
⎡
⎤
14
0 0 −14 −42
·1/14
⎢ 0 −14 0 −14
14 ⎥ · (−1/14)
A = ⎢
⎥
⎣
(158)
0
0 7
0
0 ⎦ ·1/7
0
0 0
0
0
.
Macierz (158) ma postać normalną. Jeżeli pomnożymy jej wiersze przez zaznaczone mnożniki,
to otrzymamy jeszcze prostszą postać: ⎡
⎤
1 0 0 −1 −3
⎢ 0 1 0
1 −1 ⎥
A = ⎢
⎥
⎣ 0 0 1
0
0 ⎦
(159)
0 0 0
0
0
62
MATEMATYKA
4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNA Ń LINIOWYCH
Metoda sprowadzania macierzy układu do postaci normalnej jest pomocna przy rozwiązy-
waniu układów równań liniowych. W ogólnym przypadku nosi ona nazw ę metody eliminacji
Gaussa.
Przykład 4.3 Rozwiązać układ równań liniowych
⎧
⎨ 5x + 3y + 4z = −18
3x
+
z =
−7
(160)
⎩ 6x + 3y + 6z = −27
sprowadzając macierz rozszerzoną układu do postaci normalnej.
Rozwiązanie 4.3 Biorąc pod uwag ę definicj ę macierzy rozszerzonej (patrz (149)) mamy
⎡
⎤
⎡
⎤
5 3 4 −18
5 3 4 −18
[ A| b] = ⎣ 3 0 1
−7 ⎦ −2w
⎣
⎦
2 + w3
=
0 3 4 −13
=
6 3 6 −27
6 3 6 −27
5w3 − 6w1
⎡
⎤
⎡
⎤
5
3 4 −18
5 3
4 −18
= ⎣ 0
3 4 −13 ⎦
= ⎣ 0 3
4 −13 ⎦
=
0 −3 6 −27
w2 + w3
0 0 10 −40
w3/10
⎡
⎤
⎡
⎤
5 3 4 −18
w1 − w2
5 0 0
−5
w1/5
= ⎣ 0 3 4 −13 ⎦
= ⎣ 0 3 4 −13 ⎦ w2 − 4w3 =
0 0 1
−4
0 0 1
−4
.
⎡
⎤
⎡
⎤
1 0 0 −1
1 0 0 −1
= ⎣ 0 3 0
3 ⎦ w
⎣
⎦
2/3
=
0 1 0
1
0 0 1 −4
0 0 1 −4
A wi ęc macierz normalna C ma postać
⎡
⎤
1 0 0 −1
C = ⎣ 0 1 0
1 ⎦
(161)
0 0 1 −4
Czwarta kolumna tej macierzy zawiera poszukiwane rozwiązania układu (160). Są one odpowie-
dnio równe:
x = −1
y =
1
(162)
z = −4
Przedstawiona metoda jest cz ęsto wykorzystywana przy rozwiązywaniu układów równań z
tymi samymi współczynnikami, tzn. z tą samą macierzą układu i różnymi prawymi stronami.
Układ równań (160) z innymi prawymi stronami zapiszemy nast ępująco
⎧
⎨ 5x + 3y + 4z = 6
3x
+
z = 4
(163)
⎩ 6x + 3y + 6z = 9
63
4. RÓWNANIA LINIOWE. UKŁADY RÓWNA Ń LINIOWYCH
MATEMATYKA
lub
⎧
⎨ 5x + 3y + 4z = 19
3x
+
z =
6
(164)
⎩ 6x + 3y + 6z = 21
W tym przypadku macierz rozszerzona (149) przyjmie postać
⎡
⎤
5
3
4
−18
6
19
[ A| b] = ⎣ 3
0
1
−7
4
6 ⎦
(165)
6
3
6
−27
9
21
a macierz normalna postać
⎡
⎤
1
0
0
−1
1
2
C = ⎣ 0
1
0
1
−1
3 ⎦
(166)
0
0
1
−4
1
0
Elementy ci4 są rozwiązaniem układu (160), ci5− układu (163), a ci6− układu (164) (i = 1, 2, 3).
Zauważmy, że zapisując układ wyjściowy w postaci
⎧
⎨ 5x + 3y + 4z = −18
6x + 3y + 6z = −27
(167)
⎩ 3x
+
z =
−7
zmniejszamy liczb ę przekształceń przy konstruowaniu macierzy normalnej; element a22 jest już
różny od zera. Dodatkowo, dzieląc drugie równanie obustronnie przez 3, operujemy mniejszymi
liczbami
⎧
⎨ 5x + 3y + 4z = −18
2x +
y + 2z =
−9
(168)
⎩ 3x
+
z =
−7
4.7
Metoda eliminacji Gaussa
Twierdzenie 4.5 Dowolny układ m równań liniowych o n niewiadomych
⎧
⎪
⎪ a
⎨ 11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1
+
a22x2
+ . . . +
a2nxn
=
b2
(169)
⎪
⎪ · · ·
· · ·
· · ·
· · ·
⎩ am1x1 + am2x2 +. . . + amnxn = bm
można za pomocą przekształceń elementarnych i zmiany numeracji niewiadomych sprowadzić
do układu normalnego
⎧
⎪
⎪ c
⎪ 11¯x1
0
0
+ c1,r+1¯
xr+1 + . . . + c1n¯
xn =
q1
⎪
⎪
⎪
0
c
⎪
22 ¯
x2
0
+ c2,r+1¯
xr+1 + . . . + c2n¯
xn =
q2
⎪
⎨
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
0
0
c
(170)
⎪
rr ¯
xr + cr,r+1¯
xr+1 + . . . + crn¯
xn =
qr
⎪
⎪
⎪
0
0
0
0
0
0
0
= q
⎪
r+1
⎪
⎪
⎪
· · ·
⎩
0
0
0
0
0
0
0
=
qm
w którym liczby c11, c22, . . . , crr są różne od 0, a kreski nad niewiadomymi zaznaczają możliwość
zmiany numeracji niewiadomych.
64
MATEMATYKA